Parachutisme : corrigé

1. Le système 'solide' n'est soumis qu'à son poids. Il est donc en chute libre : Son vecteur accélération dans un référentiel terrestre supposé galiléen est égal à vecteur champ de pesanteur. (on peut aussi écrire "d'après la 2ème loi de Newton : ").
   Soit un repère orthonormé avec horizontal de même sens que le mouvement de l'avion et vertical vers le bas. Dans ce repère , les coordonnées des vecteurs sont :
   

   	Vecteur accélération	Vecteur vitesse à t=0 (instant du largage)	Vecteur-vitesse à une date t³0	Vecteur position à t
   Selon	ax=0	vx(t=0) =vavion =350km.h-1 =97,2m.s-1	vx(t)=vx(t=0)=vavion	x(t)=vavion.t
   Selon	ay=g	vy(t=0)=0	vy(t)=g.t	y=

   
   
   
   On en déduit : et . Numériquement : y=5,19.10^-4. x² en unités SI
   
   Remarque : on aurait pu faire l'étude dans le référentiel de l'avion, qui peut également être considéré comme galiléen puisque l'avion est en translation rectiligne uniforme par-rapport au référentiel terrestre : dans ce cas la trajectoire aurait été une droite verticale.
   
2. 1. Le parachutiste est soumis à son poids, vertical vers le bas, et à la force de frottements . Celle-ci est opposée à sa vitesse par-rapport à l'air, donc à sa vitesse par-rapport au référentiel terrestre si on suppose l'air immobile dans ce référentiel.
      D'après la 2^ème loi de Newton :
      Selon .
      La vitesse verticale limite est atteinte quand a_y=0 donc =55 m.s^-1 (environ 200km/h)
      
      
   2. On applique (v_y)_n+1=(v_y)_n+(a_y)_n.Δt et (y)_n+1=(y)_n+(v_y)_n.Δt , avec à t=0 v_y=0 et y=0.
      Le temps caractéristique déduit du graphe tracé avec Δt=0,5s est d'environ 5s (abscisse de l'intersection de la tangente à la courbe en t=0 et de son asysmptote horizontale).
      D'après le graphe la vitesse limite est atteinte à une date inférieure à 5τ.
      
      NE PAS OUBLIER qu'il s'agit là d'une résolution approchée du problème : l'allure de la courbe dépend assez fortement du Δt choisi (voir ci-dessous). Inutile donc de chercher une relation numérique entre τ et le temps mis pour atteindre la vitesse limite, et encore moins de la retenir !
      
   3. Le parachutiste tombe pendant t_c=15s à vitesse constante v_ylim, il descend donc de Δy=v_ylim.t_c=824m. Depuis son largage à 3800m d'altitude il est descendu de 1100m en mouvement accéléré puis de 800m environ à vitesse constante,
      son altitude est donc d'environ 1900m lors de l'ouverture du parachute.
3. 1. . En projetant la relation découlant de la 2^ème loi de Newton sur l'horizontale, on obtient .
      A t=0 on a x=0 et v_x=v_avion=97,2m.s^-1. La simulation par la méthode d'Euler avec Δt=0,5s permet de déterminer qu'à t=40s, date d'ouverture du parachute,
      le parachutiste a parcouru un peu plus de 1000m horizontalement dans le sens du mouvement de l'avion.
      
      A titre de comparaison on peut calculer que :
      • Pour une même date t=40s l'avion a parcouru 3,9km depuis le largage et l'objet en chute libre a atterri depuis 12s.
      • Pour la même hauteur de chute, le déplacement horizontal de l'objet en chute libre est d'environ 1900m.
      
      La valeur limite vers laquelle tend la vitesse horizontale est 0.
      Cette limite n'est dans le cas étudié pas atteinte avant l'ouverture du parachute.
   2. L'inventaire des forces ne change pas mais l'intensité de la force de frottements est plus grande. En effet, si v_x est la vitesse horizontale du parachutiste par-rapport au sol, sa vitesse v_x/air par-rapport à l'air est de v_x+v_vent puisque le sens du vent est opposé au sens du mouvement. On a donc dans le repère choisi
      F_x=-0,16(v_x + v_vent)² et .
      La grandeur v_x/air = v_x + v_vent est appelée vent relatif.
      Le parachutiste est donc davantage freiné par l'air selon l'horizontale. La valeur limite de sa vitesse horizontale par-rapport au sol est la vitesse du vent, soit -20m.s^-1 dans le repère choisi. Elle n'est pas non plus atteinte avant l'ouverture du parachute dans le cas étudié.
      La méthode d'Euler avec Δt=0,5s indique un parcours horizontal de 300m sur les 40 premières secondes de chute.
      
      Par-rapport à la trajectoire parabolique de la chute libre, la trajectoire de la chute avec frottements doit être plus proche de la verticale.
      Pour la chute avec frottements et vent contraire, l'effet est plus marqué, et il peut y avoir un rebroussement puisque la valeur limite de v_x est négative : le parachutiste avance moins et peut finir par reculer. Ci-dessous les graphes donnés par la méthode d'Euler avec Δt=0,5s confirment ces prévisions.
      
      Remarque : dans le référentiel lié à l'avion, l'objet en chute libre tombe verticalement, le parachutiste soumis aux frottements part vers l'arrière, la forme de sa trajectoire avec et sans vent est la même, seule change la valeur limite de la vitesse horizontale, qui est celle du vent relatif : plus le vent relatif est grand, plus la trajectoire est inclinée vers l'arrière.
4. Δv_y=v_yfinale-v_ylim=-50m.s^-1. Accélération verticale moyenne =-13m.s^-2.
   Le système parachutiste+équipement est soumis à son poids et à l'action de l'air .
   2^ème loi de Newton projetée selon : soit F=m(g-a_y).
   En valeur moyenne : F_moy=m(g-a_ymoy)=80(9,81+13)=1,8kN
   (un peu plus du double du poids du parachutiste)
   
5. Par la même méthode qu'au 2.a on trouve
   v_ylim= 74m.s^-1 , environ 270km.h^-1