Un exemple d'oscillateur électronique

L'amplificateur opérationnel utilisé dans le circuit représenté fonctionne en comparateur.
On admettra que i+ et i- sont négligeables devant les intensités des courants dans les autres branches :
On indique que
Lorsque u+>u-, u_s=+15V= +U_m
Lorsque u+<u-, u_s=-15V= -U_m.
Aucune autre connaissance sur l'amplificateur opérationnel n'est nécessaire.

1. Principe de fonctionnement
   1. Exprimer u+ en fonction de u_s, R₁ et R₂.
   2. 1. En supposant que la tension u_s ait la valeur +U_m depuis une durée supérieure à 5RC, que vaudrait u- ?
      2. Que vaudrait u₊ ?
      3. Cette situation est-elle possible ?
      4. Que s'est-il produit avant que u- atteigne la valeur calculée au a ? Pour quelle valeur de u- ?
   3. Mêmes questions en supposant que u_s ait la valeur -U_m depuis une durée supérieure à 5RC.
   4. Quelle sera l'allure des variations de u_s au cours du temps ?
      Ce circuit est un oscillateur dit "astable"
2. Détermination de la période des oscillations :
   
   On vient de montrer que l'association de R et de C est soumise à une succession d'échelons de tension.
   1. A l'instant de date t=0, la valeur de u_s passe de -U_m à +U_m.
      1. Quelle est la valeur de u- à t=0?
      2. Quelle serait la valeur de u- pour ,si u_s restait égale à +U_m ?
      3. Etablir l'équation différentielle vérifiée par u- pour t>0 , tant que u_s reste égale à +U_m.
      4. En fonction des réponses aux questions a et b, déterminer l'expression de u- en fonction du temps.
      5. Jusqu'à quelle date t₁ cette expression est-elle valable ?
   2. On prend l'instant de date t₁ comme nouvelle origine des temps t=0 . A cet instant la valeur de u_s passe de +U_m à -U_m.
      1. Quelle est la valeur de u- à t=0?
      2. Quelle serait la valeur de u- pour , si u_s restait égale à -U_m ?
      3. Etablir l'équation différentielle vérifiée par u- pour t>0 , tant que u_s reste égale à -U_m.
      4. En fonction des réponses aux questions a et b, déterminer l'expression de u- en fonction du temps.
      5. Jusqu'à quelle date t₂ cette expression est-elle valable ?

   3. Quelle est l'expression de la période T des oscillations du circuit ?
   4. Quelle est l'allure des variations de u- au cours du temps ?

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